El monociclo en cuesta
Juan Reyero, Jaime Fernández y Utpal Sarkar
¿Cuál es la pendiente máxima que puede subir un monociclo? Tratar de responder a esta pregunta lleva a resultados sorprendentemente elegantes, y ayuda a entender la dinámica de la conducción del monociclo.
Asunciones
Asumiremos que la inercia rotacional de la rueda, pedales y
piernas es neglibible. Supondremos también que el
monociclista carga todo su peso en el pedal que baja, y que
ésta es la única fuerza de impulsión. Esto implica que el
conductor:
- no estira del sillín hacia arriba;
- no acelera su cuerpo hacia arriba respecto al monociclo;
- no hace fuerza tangencial sobre los pedales;
- no carga nada de su peso en el pedal que sube, ni en el sillín.
Estos supuestos son demasiado restrictivos para un monociclista experto, que estiraría del sillín hacia arriba, tal vez aceleraría el cuerpo en situaciones extremas, y haría algo de fuerza tangencial sobre los pedales: pero nos parece una aproximación razonable a lo que haría un monociclista de habilidad media al intentar subir una pendiente al límite de sus posibilidades.
Ecuación del movimiento
Nos fijaremos en la ecuación del movimiento en el eje 
,
tal como se muestra en la figura. Las únicas fuerzas en esta
dirección son 
, el componente de 
la dirección 
, y 
. Por lo tanto,
Hay dos pares aplicados a la rueda: el de la fuerza de
tracción, 
, y el de la fuerza sobre el pedal, 
:
Teniendo en cuenta que 
, y
combinando las ecuaciones anteriores, llegamos a la ecuación
del movimiento en el eje 
,
La solución estática
Fijando 
llegamos a
Ésta es la pendiente límite en la que el monociclo estaría en
equilibrio, sin subir ni bajar, para una posición θ de
las bielas. Para la posición de máximo par, 
,
la pendiente es máxima y
Es interesante notar que ésta es la pendiente de un triángulo
rectángulo de hipotenusa 
, el radio de la rueda, y lado
, la longitud de la biela.
La solución dinámica
Si multiplicamos la ecuación del movimiento por
la podemos integrar, llegando a:
Condición para el movimiento estacionario
Si al final del ciclo la velocidad angular de las bielas es
la misma que al inicio, el movimiento es periódico y
estacionario. Las condiciones son, por lo tanto, que
y
. Introduciendo estos
valores en Eqn.1 llegamos a:
de donde
Ésta es una aproximación mucho más realista a la máxima pendiente que se puede subir.
Solución periódica
Subiendo una pendiente máxima, podemos substituir en la
solución dinámica 
por la expresión anterior.
Si 
la ecuación se convierte, multiplicando por
dos, en:
Velocidad inicial mínima
La condición para que esta ecuación tenga solución es que
y, por lo tanto,
Esta condición define la mínima velocidad angular inicial de
las bielas, 
. Como ésto tiene que ser cierto
para todos los 
, la condición más limitante es cuando
el término entre paréntesis es máximo, lo que sucederá cuando
y por lo tanto
Esto da 
radianes (39.54 grados) y,
substituyendo en la ecuación de mínima 
,
llegamos a
la velocidad mínima que permitirá subir.